EQUIVALENCIAS NOTABLES

Ley de la Doble Negación:

Si p es una proposición simple cualquiera, entonces: Ø ( Ø p ) º p

Al negar dos veces una proposición obtenemos una afirmación.

Leyes de Idempotencia para Ù y para Ú

Si p es una proposición simple o compuesta, entonces: (p Ú p)  ºº  p (p Ù p)  º p

Según estas leyes, las proporciones ( p Ú p) o (p Ù p) pueden sustituirse por p.

Leyes Conmutativas Ù y para Ú

Si p y q son proposiciones, entonces: a)    ( p Ú q ) º ( q Ú p ) b)   (p Ù q ) º (q Ù p), es decir, dos proporciones conectadas con Ú Ù pueden escribirse en cualquier orden.

Leyes Asociativas

Si p, q, , son proposiciones cualesquiera, entonces: a)    ( p Ù ( q Ù r) º (p Ù q ) Ù r b)   (p Ú (q Ú r) º (p Ú q) Ú r

Leyes Distributivas:

Si p, q, r son proposiciones cualesquiera, entonces. c)    [ p Ù ( q Ú r ) ] º [ ( p Ù q ) Ú ( p Ù r )] d)   [ p Ú ( q  Ù r ) ] º[ ( p Ú q ) Ù ( p Ú r )]

Estas leyes son similares a las que conocemos en el álgebra para la suma y la multiplicación. Recordemos que:

4( x + y ) = (4x) + ( 4y)

Leyes de De Morgan:

Si p, q son proposiciones simples o compuestas, entonces: e)    Ø ( p Ù q ) º ( Ø p Ú Ø q ) f)     Ø ( p Ú q ) º ( Ø p Ù Ø q )

Estas leyes nos indican cómo negar una disyunción y una conjunción.  La parte: a) establece que para negar una conjunción es necesario cambiar la conjunción por disyunción (Ù por Ú) y negar las proposiciones dadas.

La parte b) establece que para negar una disyunción debemos cambiar la disyunción por la conjunción (la  Ù por Ú)  y negar las proposiciones dadas.

Ejemplo:

Negar la proposición: “7 es un número primo y 30 es divisible por 5”.

Solución:

Cambiamos “y” por “o” y negamos las proposiciones simples que forman el enunciado, así:

“7 no es un número primo o 30 no es divisible por 5”.

Ley de la condicional:

Usando tablas de verdad podemos verificar que:  p Þ q equivale a Ø p Ú q . La proposición p Þ q es una abreviación de la proposición Ø p Ú q; es decir:  ( p Þ q ) º ( Ø p Ú q)

NOTA: Son muchos los esquemas lógicos que ofrecen alguna complejidad y pueden simplificarse utilizando esta definición alterna del condicional.

Ejemplo 1:

Escribamos sin condicional las proposiciones siguientes:

a.      ( p Ù q)  Þ  r

b.     p Þ ( Ø q Ú Ø )

c.      Ø p Þ Ø q

SOLUCIÓN:

a.      [ (p Ù q ) Þ r ] º Ø ( p Ù q ) Ú r

b.     [ p Þ ( Ø q Ú Ø r ) ] º Ø p Ú ( Ø q Ú Ø r )

c.      ( Ø p Þ Ø q ) º Ø ( Ø p ) Ú Øq º p Ú ( Ø q )

Ejemplo 2:

Escribamos una proposición equivalente a:

“Si X es par entonces x es divisible por 2”

SOLUCIÓN:

Usando la definición alterna  de la implicación tenemos:

“x no es par o x no es divisible por 2”

Ejemplo 3:

Comprobemos que ( p Þ q) º ( Ø p Ú q)

SOLUCIÓN:

Elaboramos la tabla de verdad:

p	q	Ø p	(  p     Þ     q)       Û          (Ø p     Ú    q)
V V F F	V F V F	F F V V	V                    V                        V F                    V                        F V                    V                        V V                   V                        V (1)                 (3)                       (2)

Ley de la Bicondicional

            p  Û  q    º  ( p Þ q ) Ù ( q Þ p )

Ley de Contradicción:

Si p es una proposición cualesquiera, entonces: ( p Ù Ø p ) º ( F )

Esquemas como (p Ù Ø p),  (q Ù Ø q), (r Ù Ø r) pueden remplazarse por (F)

Conjunción Negativa.-

     

           p  ¯ q º Ø  p Ù  Ø q   

Disyunción Exclusiva.-

          p Ú q º ( p Ú q ) Ù Ø ( p Ù q )