IMPLICAIONES NOTABLES

MODUS TOLLENDO PONENS. Su  abreviatura es: MTP

 

       Simbólicamente tenemos:

p Ú q Ø p

                            

  (1)                           

  (1)
             q                    (1)                         

   

p Ú q Ø q

                            

  (1)                          

  (1)
             p                    (1)                         

Sus fórmulas son:

[ (p Ú q ) Ù Ø p ] Þ q

[ (p Ú q ) Ù Ø q ] Þ p

Si una proposición disyuntiva es verdadera y si es verdadera la negación de una de sus componentes, entonces necesariamente será verdadera  la otra componente de la disyunción.

Ejemplo:

Supóngase que se tiene como premisa:

O esta sustancia contiene hidrógeno o contiene oxígeno

La segunda premisa dice:

Esta sustancia no contiene oxígeno

Por medio del Modus Tollendo Ponens se puede concluir:

Esta sustancia contiene oxígeno

Para aclarar la forma de esta inferencia, se puede simbolizar el ejemplo:

p: Esta sustancia contiene hidrógeno

q: Esta sustancia  contiene oxígeno

La demostración de la conclusión es:

p Ú q     P Ø p         P

                            

 

 
             q           TP 1, 2                     

MODUS TOLLENDO TOLLENS.  Su abreviatura es TT.

       Simbólicamente tenemos:

p Þ q      Ø q

(1)                           

(1)

                Ø  p           (1)                           

         Su fórmula es:

                [ ( p Þ q ) Ù Ø q ] Þ Ø  p

Si una proposición condicional es verdadera y si es verdadera  la negación del consecuente, entonces necesariamente será verdadera la negación del antecedente.

Ejemplo:

Premisa 1: Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella

Premisa 2: El astro no es una estrella.

Conclusión: Por tanto no tiene luz propia

Se simboliza de la siguiente manera el ejercicio anterior

p Þ q      Ø q

P                             

P
                Ø  p              TT 1, 2                                         

Ejercicios:

A.      ¿Qué conclusión se puede deducir de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes utilizando TT?  Escribir las conclusiones es castellano.

1)    Si la luz fuera simplemente un movimiento ondulatorio continuo, entonces la luz más brillante dará lugar siempre a una emisión de electrones con mayor energía que los originados por luz más tenue.  La luz más brillante no siempre emite electrones con mayor energía que los originados.

2)    Si un ángulo de un triángulo es mayor de 90 grados, entonces la suma de los otros dos ángulos es menor de 90 grados.  La sima de los otros dos ángulos no es menor de 90 grados.

3)    Si el arriendo se mantiene válido, entonces el dueño es responsable de las reparaciones.  El dueño no es responsable de las reptaciones.

B.      Deducir una conclusión de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes, aplicando la regla del Modus Tollendo Tollens.

1.  (1) q Þ r                   2. (1) q Þ Ø r                        3.  (1) ( p Ú q) Þ r

             (2) Ø r                           (2) ØØ r                                  (2)  Ø r

             (3)                             (3)                                               (3)

C.      Demostrar que las conclusiones son consecuencia  de las premisas dadas.  Indicar la demostración completa.

Demostrar: c                            Demostrar: r Ù s                   Demostrar:                                        

  (1) Ø b                                     (1) p Þ q                               (1)  f

         (2)  a Þ b                            (2) q                                (2) Ø e Þ Ø f

         (3) Ø a Þ c                          (3) Ø p Þ r Ù s

Ejercicios:

A.   ¿Qué conclusión, en forma de proposición escrita en castellano, se puede deducir de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes utilizando la regla TP?

1.    Este hombre o es un abogado o es un político.  No es un abogado.

2.    Juan o ha terminado el libro o no ha ido a devolverlo hoy a la biblioteca.

3.    Juan no ha terminado el libro.

B.   Deducir una conclusión de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas 

       usando el Modus Tollendo Ponens.

       (1)  Ø q Ú r          P                     (1)  t Ú ( p Þ q)         P         (1)  (s Ù t) Ú r             P

       (2)   Ø r                P                     (2)  Ø t                        P         (2) Ø (s Ù t)                P

C. Demostrar que las conclusiones son consecuencia  de las premisas dadas en los

     Ejercicios  que siguen.  Dar una demostración completa.

      1)  Demostrar: p             2) Demostrar a Ù b                    3) Demostrar: p

           (1) p Ú q     P                    (1) Ø a Ú b      P                          (1)  t Þ p Ú q     P

           (2) Ø t          P                               (2) Ø a Þ e     P                         (2)Ø Ø t             P

            (3) q Þ  t    P                   (3) Ø e             P                         (3) Ø q              P      

SILOGISMO DISYUNTIVO (LEY DEL DILEMA).  Su abreviatura es DS

       Simbólicamente tenemos:

       p Þ q

r Þ s   p Ú r

       q Ú s

          Su fórmula es:

[(p Þ q) Ù (r Þ s ) Ù (p Ú q)] Þ (q Ú s)

Si dos proposiciones condicionales son verdaderas y si es verdadera la disyunción que se forme con los antecedentes de  dichas condicionales, entonces necesariamente será verdadera la disyunción que se forme con los consecuentes.

 Ejemplo:

            O llueve o el campo está seco

            Si llueve, entonces jugaremos dentro.

            Si el campo está seco, entonces jugaremos al baloncesto

¿Qué conclusión se puede sacar de estas proposiciones? La conclusión es que o jugaremos dentro o jugaremos el baloncesto.  La conclusión es otra disyunción.

Simbolizamos:

r:    llueve

d:   el campo está seco

p:   jugaremos dentro

b:   jugaremos al baloncesto

Esto se simboliza así:

            (1)   r Ú d        P

           (2)  r Ú p          P

            (3)  d Þ b      P

            (4)  p Ú b        D S1, 2, y 3

Ejercicios:

A.  ¿Qué conclusión se puede sacar de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas, por la ley del silogismo disyuntivo? Dar como conclusión una proposición en lenguaje corriente.

1)        O Juan tiene mayoría  o Pedro tiene mayoría.  Si Juan tiene mayoría.  Pedro será  el tesorero.  Si Pedro tiene mayoría, entonces Juan será el tesorero.

2)        O la planta es un aplanta verde o es una planta no verde.  Si es una planta verde, entonces fabrica su propio elemento.  Si es una planta no verde, entonces depende de  las materias de otras plantas para su alimento.

B.  Simbolizar los razonamientos de los ejemplos anteriores y demostrar que las conclusiones son consecuencia  lógica de las premisas.

C. Utilizar la ley del silogismo disyuntivo (DS) para obtener una conclusión de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas.

            1.  (1)  p Ú  Ø q                                 2.  (1)  Ø t Ú Ø s

                 (2) Ø q Þ r                                        (2)  Ø s Þ p

               (3) p Þ Ø s                             (3)   Øt Þ q

C.   Dar una deducción completamente formal de las siguientes conclusiones a partir de las premisas dadas.

1. Demostrar: r Ù (p Ù q )                      2. Demostrar: Ø q Ù s

                (1)  p Ú q                                      (1)  s  Ù Ø r

                 (2)  q Þ  r                                          (2)  r Ú Ø t

                 (3) p Þ t                                            (3) q Þ t

                (4) Ø t

SILOGISMO HIPOTÉTICO (LEY TRANSITIVA). Su abreviatura es HS

      Simbólicamente tenemos:

p Þ q    q Þ  r

      p Þ r     

            Su fórmula es:

[( p Þ q ) Ù ( r Þ s )   Ù ( p Ú r )] Þ (q Ú s)

Si una proposición condicional es verdadera  y si es verdadera  otra condicional que tenga como antecedente el consecuente de la primera, entonces necesariamente será verdadera otra condicional que tenga por antecedente  el de la primea  y por consecuente el consecuente de la segunda.

Ejemplo:

(1)  Si hace calor, entonces Juana va a nadar

(2) Si Juana va a nadar, entonces arregla la casa después de comer.

Se puede concluir:

(3) Si hace calor, entonces arregla la casa después de comer.

Ejercicios:

En los ejemplos siguientes de la ley del silogismo hipotético obsérvese que algunos de los antecedentes y consecuentes son proposiciones moleculares. La forma, sin embargo es la misma.

            a.  (1)  Ø p Þ Ø q     P

                (2)  Ø q Þ Ø r       P

                (3)  Ø p Þ Ø r       HS 1,2

           

b. (1) (p Þ q) Þ r                             P

     (2) r Þ  (q Ù t )                             P

                 (3) (p Þ q)  Þ ( q Ù t )    HS 1,2

                       

A.  ¿Qué conclusiones se puede sacar, si se puede sacar alguna, por la ley de silogismo hipotético de los conjuntos de proposiciones siguientes?

1.    Si el agua se hiela, entonces sus moléculas forman cristales. Si las moléculas forman cristales, entonces el agua aumenta de volumen.

2.    Si un haz fino de fotones penetran en un gas en una cámara de niebla, entonces los fotones expulsan electrones de lo s átomos del gas.  Si los fotones expulsan electrones de átomos de gas, entonces la energía de la luz se convierte en energía cinética de los electrones.

B. Traducir los razonamientos del ejercicio A en símbolos lógicos y demostrar que su conclusión es consecuencia lógica de las premisas.

C.  Utilizar la ley del silogismo hipotético  y obtener una conclusión del siguiente conjunto de premisas.

     1.  (1) q Þ Ø p                 2. (1) s Ú t Þ r Ú q

          (2) Ø p Þ r                      (2)  r Ú q Þ Øp

D.  Indicar una deducción formal de las siguientes conclusiones a partir de las premisas dadas.

1. Demostrar: Ø t                                               2. Demostrar: q

                (1) ( q Þ r) Ù p                                             (1)  Ø r Þ s

                (2) r Þ t                                                        (2)   s Þ p Ù q

                (3) ( q  Þ r ) Þ Ø t                                      (3) r Þ t

                                                                                      (4) Ø t

SILOGISMO HIPOTÉTICO (LEY TRANSITIVA). Su abreviatura es HS

      Simbólicamente tenemos:

p Þ q    q Þ  r

      p Þ r     

            Su fórmula es:

[( p Þ q ) Ù ( r Þ s )   Ù ( p Ú r )] Þ (q Ú s)

Si una proposición condicional es verdadera  y si es verdadera  otra condicional que tenga como antecedente el consecuente de la primera, entonces necesariamente será verdadera otra condicional que tenga por antecedente  el de la primea  y por consecuente el consecuente de la segunda.

Ejemplo:

(1)  Si hace calor, entonces Juana va a nadar

(2) Si Juana va a nadar, entonces arregla la casa después de comer.

Se puede concluir:

(3) Si hace calor, entonces arregla la casa después de comer.

Ejercicios:

En los ejemplos siguientes de la ley del silogismo hipotético obsérvese que algunos de los antecedentes y consecuentes son proposiciones moleculares. La forma, sin embargo es la misma.

            a.  (1)  Ø p Þ Ø q     P

                (2)  Ø q Þ Ø r       P

                (3)  Ø p Þ Ø r       HS 1,2

           

b. (1) (p Þ q) Þ r                             P

     (2) r Þ  (q Ù t )                             P

                 (3) (p Þ q)  Þ ( q Ù t )    HS 1,2

                       

A.  ¿Qué conclusiones se puede sacar, si se puede sacar alguna, por la ley de silogismo hipotético de los conjuntos de proposiciones siguientes?

1.    Si el agua se hiela, entonces sus moléculas forman cristales. Si las moléculas forman cristales, entonces el agua aumenta de volumen.

2.    Si un haz fino de fotones penetran en un gas en una cámara de niebla, entonces los fotones expulsan electrones de lo s átomos del gas.  Si los fotones expulsan electrones de átomos de gas, entonces la energía de la luz se convierte en energía cinética de los electrones.

B. Traducir los razonamientos del ejercicio A en símbolos lógicos y demostrar que su conclusión es consecuencia lógica de las premisas.

C.  Utilizar la ley del silogismo hipotético  y obtener una conclusión del siguiente conjunto de premisas.

     1.  (1) q Þ Ø p                 2. (1) s Ú t Þ r Ú q

          (2) Ø p Þ r                      (2)  r Ú q Þ Øp

D.  Indicar una deducción formal de las siguientes conclusiones a partir de las premisas dadas.

1. Demostrar: Ø t                                               2. Demostrar: q

                (1) ( q Þ r) Ù p                                             (1)  Ø r Þ s

                (2) r Þ t                                                        (2)   s Þ p Ù q

                (3) ( q  Þ r ) Þ Ø t                                      (3) r Þ t

                                                                                      (4) Ø t

TAUTOLOGÍA ADICIÓN

     Simbólicamente tenemos:

p

        p Ú q

     

      Su fórmula es:

       p Þ [ p Ú q]

Si una proposición cualesquiera es verdadera, entonces necesariamente será verdadera la disyunción que se forme con dicha proposición y cualquier otra.

Ejemplo:

Estudio con responsabilidad o pierdo el módulo

p: estudio con responsabilidad

q: pierdo el módulo

 p Ú q: estudio con responsabilidad o pierdo el módulo.